Minggu, 15 April 2018

SOAL DAN PEMBAHASAN MATERI KOMBINAS DAN PERMUTASI

1. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2    buah huruf “S” tidak terletak berdampingan?
          Penyelesaian:


2. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen?
           Penyelesaian:


3. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang wanita dan 4 orang pria. Berapa banyak perwakilan 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita didalamnya?
           Penyelesaian:

      


Minggu, 08 April 2018

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika adalah metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi metamtika dapat mengurangi lagkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk kedalma suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.  
         Contoh:
 
Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2
Bukti :
Misalkan n = 6 à p(6) adalah “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 6 adalah 6(6+1)/2” terlihat bahwa :
  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 è 6(7)/2 = 21
Sehingga proposisi (pernyataan) tersebut benar

Contoh:
Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Bukti:
Misalkan n = 6 buah (n = 1,2,3,4,5,6) maka :
nn = 1 à 1 = 1  è (1)2 = 1
nn = 2 à 1+3 = 4  è (2)2 = 4
nn = 3 à 1+3+5 = 9  è (3)2 = 9
nn = 4 à 1+3+5+7 = 16  è (4)2 = 16
nn = 5 à 1+3+5+7+9 = 25  è (5)2 = 25
nn = 6 à 1+3+5+7+9+11 = 36 è (6)2 = 36
         Sehingga proposisi (pernyataan) tersebut benar


PRINSIP INDUKSI SEDERHANA

Misalkan p(n) adalah proposisi bilangan bulat positif dan ingin dibuktikan bahwa p(n) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Maka langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

  1. p(n) benar
  2. Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n ³
         Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n

       

          Basis Induksi:  
  •         Digunakan untuk memperlihatkan bahwa pernyataan benar bila n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil
  •         Buat implikasi untuk fungsi berikutnya benar untuk setiap bilangan bulat positif \
           Langkah Induksi:
  •         Berisi asumsi (andaian) yang menyatakan bahwa p(n) benar.
  •         Asumsi tersebut dinamakan hipotesis induksi.
           Bila kedua langkah tersebut benar maka pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua  bilangan positif n.
 
      
          CONTOH:

          Tunjukkan bahwa untuk n ³ 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 melalui induksi matematika
  •           Basis induksi
                    p(1) benar ➜ n = 1 diperoleh dari :
                                           
                          1 = 1(1+1)/2
                             
                              = 1(2)/2
           
                              = 2/2
                              
                              =1
  •           Langkah induksi
                    Misalkan p(n) benar à asumsi bahwa :

                    1+2+3+…+n = n(n+1)/2

                    Adalah benar (hipotesis induksi). Perlihatkan bahwa p(n+1) juga benar yaitu 

                    1+2+3+…+n+(n+1) = (n+1)[(n+1)+1]/2
                      
                1+2+3+…+n+(n+1) = (1+2+3+…+n)+(n+1)
  = [n(n+1)/2]+(n+1)
  = [(n2+n)/2]+(n+1)
  = [(n2+n)/2]+[(2n+2)/2]
  = (n2+3n+2)/2
  = (n+1)(n+2)/2
  = (n+1)[(n+1)+1]/2

Langkah (i) dan (ii) dibuktikan benar, maka untuk semua bilangan bulat positif n, terbukti bahwa untuk semua n ³ 1, 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 




BLOCKING

Senin, 24 Juni 2019 BLOCKING Blocking adalah Penempatan sejumlah record pada suatu block. Block adalah unit data yang ditransfer. Block b...