Definisi Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif, Contoh Soal dan Pembahasan

Fungsi Surjektif

Untuk bisa memahami pengertian fungsi surjektif, perhatikan himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {a, b, c}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi-fungsi f dan g dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut.

f : A → B dengan f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)}

g : A → B dengan g = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)}

Diagram panah untuk fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)} diperlihatkan pada gambar (a) di atas. Dari gambar (a), tampak bahwa wilayah hasil fungsi f adalah Wf = {a, b, c} = B. Suatu fungsi f : A → B dengan wilayah hasil Wf = B seperti itu dinamakan fungsi kepada B. Istilah lain untuk fungsi kepada adalah fungsi onto atau fungsi surjektif.

Diagram panah untuk fungsi g = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)} diperlihatkan pada gambar (b) di atas. Dari gambar (b), tampak bahwa wilayah hasil fungsi g adalah Wg= {a, b} dan Wg ⊂ B (dibaca: Wg himpunan bagian B) . Suatu fungsi g : A → B dengan wilayah hasil Wg ⊂ B seperti itu dinamakanfungsi ke dalam B atau fungsi into. Dari penjelasan mengenai fungsi onto dan fungsi into maka dapat kita ambil dua kesimpulan sebagai berikut.

Fungsi f : A → B disebut sebagai •Fungsi kepada B (fungsi onto/surjektif), jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Wf  = B. •Fungsi ke dalam B (fungsi into), jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau Wf ⊂ B.

Fungsi Injektif

Untuk memahami definisi fungsi injektif, pandanglah himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

f : A → B dengan f = {(1, a), (2, b), (3, c)}

g : A → B dengan g = {(1, a), (2, b), (3, b)}

Diagram panah fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)} diperlihatkan pada gambar (a). dari diagram panah pada gambar (a) tersebut, nampak bahwa f(1) = a, f(2) = b dan f(3) = c. Ini berarti bahwa untuk setiap anggota dalam himpunan A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di himpunan B. Suatu fungsi f : A → B dengan setiap anggota A yang berbeda memiliki peta yang berbeda di B seperti itu disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif.

Diagram panah fungsi g = {(1, a), (2, b), (3, b)} diperlihatkan pada gambar (b). dari diagram panah pada gambar (b) tersebut, tampak bahwa g(1) = a, g(2) = b dan g(3) = b. Perhatikan bahwa 2 ≠ 3, tetapi g(2) = g(3) = b. Karena terdapat anggota yang berbeda di himpunan A tetaou memiliki peta yang sama di himpunan B maka fungsi g bukan fungsi satu-satu atau bukan fungsi injektif. Dari penjelasan-penjelasan tersebut dapat disimpulkan definisi dari fungsi injektif sebagai berikut.

Fungsi f : A → B disebut sebagai fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 ∈ A dengan a1 ≠ a2 berlakuf(a1) ≠ f(a2).

Fungsi Bijektif

Untuk memahami pengertian fungsi bijektif, perhatikan fungsi f  dan fungsi g yang digambarkan dalam diagram panah di bawah ini.

Fungsi f : A → B dengan A = {0, 1, 2) dan B = {a, b, c}. Fungsi f dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut f = {(0, a), (1, b), (2, c)} dengan diagram panahnya diperlihatkan pada gambar (a) di atas. Perhatikan bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif. Fungsi f yang bersifat surjektif dan juga injektif disebut dengan fungsi bijektif (bi = dua) atau fungsi korespondensi satu-satu.

Fungsi g: A → B dengan A = {0, 1, 2) dan B = {a, b, c, d}. Fungsi g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut g = {(0, a), (1, b), (2, c)} dengan diagram panahnya diperlihatkan pada gambar (b) di atas. Perhatikan bahwa fungsi g adalah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif. Dengan demikian, fungsi g dikatakan bukan fungsi bijektif. Dari penjelasan tersebut dapat disimpulkan pengertian dari fungsi bijektif sebagai berikut.

Fungsi f : A → B disebut sebagai fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

Contoh Soal Fungsi Surjektif, Injektif dan Bijektif Beserta Jawaban

Agar kalian lebih memahami mengenai konsep fungsi surjektif (fungsi onto), fungsi into, fungsi injektif (fungsi satu-satu) dan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal Fungsi Surjektif

Dari empat diagram panah berikut ini, manakah yang merupakan fungsi surjektif.

Jawab

Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau Wf = B. Berdasarkan konsep ini, maka dapat disimpulkan bahwa gambar diagram panah yang menunjukkan fungsi surjektif adalah gambar (1) dan (4).

Contoh Soal Fungsi Injektif

Berikut ini manakah yang merupakan gambar diagram panah yang menunjukkan fungsi injektif?

Jawab

Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika setiap elemen dari B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A. Berdasarkan konsep ini dapat disimpulkan bahwa hanya gambar diagram panah nomor (4) saja yang menunjukkan fungsi injektif.

Contoh Soal Fungsi Bijektif

Manakah gambar diagram panah berikut ini yang menunjukkan fungsi bijektif?

Jawab

Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif atau berkorespondensi satu-satu, jika f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif sekaligus. Berdasarkan konsep tersebut maka diagram panah yang menunjukkan fungsi bijektif adalah gambar (2) dan (4).