SOAL DAN PEMBAHASAN RELASI KESETARAAN DAN RELASI PARSIAL

 RELASI KESETARAAN
Relasi R pada himpunan A disebut relasi kesetaraan (equivalence relation) jika ia refleksif, setangkup dan menghantar. Secara intuitif, di dalam relasi kesetaraan, dua benda berhubungan jika keduanya memiliki beberapa sifat yang sama atau memenuhi beberapa persyaratan yang sama.Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi kesetaraan dinamakan setara (equivalent).

Contoh Pembahasan:
A = {6,7,8,9}
R = {(6,6), (6,7), (7,6), (7,7), (7,8), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8), (9,9)}
Jawab:

Refleksif: 
Bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang terbentuk, yaitu {(6,6), (7,7), (8,8), (9,9).

Setangkup:
Bersifat setangkup karena (6,7) dan (7,6), (7,8) dan (8,7), (8,9) dan (9,8).

Menghantar:
bersifat menghantar jika:
(a,b)     (b,c)     (a,c)
(6,7)     (7,8)     (6,8)
(7,8)     (8,9)     (7,9)

RELASI PARSIAL
Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial (partial ordering relation) jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan menghantar.

Contoh Pembahasan:
A = {1,2,3,4}
R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}
Jawab:

Refleksif:
Bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang terbentuk, yaitu {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

Tolak Setangkup:
Bersifat Tolak Setangkup karena (a,b) ≠ (b,a), yaitu: {(1,2), (2,3), (3,4)}

Menghantar:

bersifat menghantar jika:
(a,b)     (b,c)     (a,c)
(1,2)     (2,3)     (1,3)
(2,3)     (3,4)     (2,4)

Definisi Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif, Contoh Soal dan Pembahasan

Fungsi Surjektif

Untuk bisa memahami pengertian fungsi surjektif, perhatikan himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan himpunan B = {a, b, c}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi-fungsi f dan g dalam bentuk pasangan berurutan sebagai berikut.

f : A → B dengan f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)}

g : A → B dengan g = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)}

Diagram panah untuk fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)} diperlihatkan pada gambar (a) di atas. Dari gambar (a), tampak bahwa wilayah hasil fungsi f adalah Wf = {a, b, c} = B. Suatu fungsi f : A → B dengan wilayah hasil Wf = B seperti itu dinamakan fungsi kepada B. Istilah lain untuk fungsi kepada adalah fungsi onto atau fungsi surjektif.

Diagram panah untuk fungsi g = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b)} diperlihatkan pada gambar (b) di atas. Dari gambar (b), tampak bahwa wilayah hasil fungsi g adalah Wg= {a, b} dan Wg ⊂ B (dibaca: Wg himpunan bagian B) . Suatu fungsi g : A → B dengan wilayah hasil Wg ⊂ B seperti itu dinamakanfungsi ke dalam B atau fungsi into. Dari penjelasan mengenai fungsi onto dan fungsi into maka dapat kita ambil dua kesimpulan sebagai berikut.

Fungsi f : A → B disebut sebagai •Fungsi kepada B (fungsi onto/surjektif), jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Wf  = B. •Fungsi ke dalam B (fungsi into), jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari himpunan B atau Wf ⊂ B.

Fungsi Injektif

Untuk memahami definisi fungsi injektif, pandanglah himpunan A = {1, 2, 3} dan himpunan B = {a, b, c}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

f : A → B dengan f = {(1, a), (2, b), (3, c)}

g : A → B dengan g = {(1, a), (2, b), (3, b)}

Diagram panah fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)} diperlihatkan pada gambar (a). dari diagram panah pada gambar (a) tersebut, nampak bahwa f(1) = a, f(2) = b dan f(3) = c. Ini berarti bahwa untuk setiap anggota dalam himpunan A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula di himpunan B. Suatu fungsi f : A → B dengan setiap anggota A yang berbeda memiliki peta yang berbeda di B seperti itu disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif.

Diagram panah fungsi g = {(1, a), (2, b), (3, b)} diperlihatkan pada gambar (b). dari diagram panah pada gambar (b) tersebut, tampak bahwa g(1) = a, g(2) = b dan g(3) = b. Perhatikan bahwa 2 ≠ 3, tetapi g(2) = g(3) = b. Karena terdapat anggota yang berbeda di himpunan A tetaou memiliki peta yang sama di himpunan B maka fungsi g bukan fungsi satu-satu atau bukan fungsi injektif. Dari penjelasan-penjelasan tersebut dapat disimpulkan definisi dari fungsi injektif sebagai berikut.

Fungsi f : A → B disebut sebagai fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 ∈ A dengan a1 ≠ a2 berlakuf(a1) ≠ f(a2).

Fungsi Bijektif

Untuk memahami pengertian fungsi bijektif, perhatikan fungsi f  dan fungsi g yang digambarkan dalam diagram panah di bawah ini.

Fungsi f : A → B dengan A = {0, 1, 2) dan B = {a, b, c}. Fungsi f dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut f = {(0, a), (1, b), (2, c)} dengan diagram panahnya diperlihatkan pada gambar (a) di atas. Perhatikan bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif. Fungsi f yang bersifat surjektif dan juga injektif disebut dengan fungsi bijektif (bi = dua) atau fungsi korespondensi satu-satu.

Fungsi g: A → B dengan A = {0, 1, 2) dan B = {a, b, c, d}. Fungsi g dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut g = {(0, a), (1, b), (2, c)} dengan diagram panahnya diperlihatkan pada gambar (b) di atas. Perhatikan bahwa fungsi g adalah fungsi injektif tetapi bukan fungsi surjektif. Dengan demikian, fungsi g dikatakan bukan fungsi bijektif. Dari penjelasan tersebut dapat disimpulkan pengertian dari fungsi bijektif sebagai berikut.

Fungsi f : A → B disebut sebagai fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

Contoh Soal Fungsi Surjektif, Injektif dan Bijektif Beserta Jawaban

Agar kalian lebih memahami mengenai konsep fungsi surjektif (fungsi onto), fungsi into, fungsi injektif (fungsi satu-satu) dan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) perhatikan beberapa contoh soal beserta pembahasannya berikut ini.

Contoh Soal Fungsi Surjektif

Dari empat diagram panah berikut ini, manakah yang merupakan fungsi surjektif.

Jawab

Fungsi f : A → B disebut fungsi surjektif, jika setiap elemen di B mempunyai pasangan di A atau Wf = B. Berdasarkan konsep ini, maka dapat disimpulkan bahwa gambar diagram panah yang menunjukkan fungsi surjektif adalah gambar (1) dan (4).

Contoh Soal Fungsi Injektif

Berikut ini manakah yang merupakan gambar diagram panah yang menunjukkan fungsi injektif?

Jawab

Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif jika setiap elemen dari B mempunyai pasangan tepat satu elemen dari A. Berdasarkan konsep ini dapat disimpulkan bahwa hanya gambar diagram panah nomor (4) saja yang menunjukkan fungsi injektif.

Contoh Soal Fungsi Bijektif

Manakah gambar diagram panah berikut ini yang menunjukkan fungsi bijektif?

Jawab

Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif atau berkorespondensi satu-satu, jika f adalah fungsi surjektif dan juga fungsi injektif sekaligus. Berdasarkan konsep tersebut maka diagram panah yang menunjukkan fungsi bijektif adalah gambar (2) dan (4).

HIMPUNAN

  A.  Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda dan unsur-unsur yang didefinisikan dengan jelas  dan juga diberi batasan tertentu. 

Contoh:

·         A = Himpunan Bilangan Prima

            A = {2,3,5,7,11}

      ·         C = Himpunan Merk Hp

            C = {iphone, motorola, nokia, samsung}

  B.  Cara Penyajian Himpunan
a     Ada beberapa cara untuk penyajian himpunan:

    1. Enumerasi

      Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggota himpunan.

      Contoh:

      Himpunan enam bilangan prima pertama :
      P = { 2,3,5,7,11,13}

    -Simbol Baku

      Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati atau sering digunakan dalam penjabaran matematika.

      Contoh:

      P adalah himpunan bilangan bulat positif 
      R adalah himpunan bilangan riil.
c    C adalah himpunan bilangan kompleks

    -Notasi Pembentukan Himpunan

      Notasi pembentukan himpunan, yaitu dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota.  Misalnya { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

      Contoh :

      A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 6} atau A = { x|x P, x<6} yang ekivalen dengan A = {1,2,3,4,5}

    -Diagram Venn

      Diagram Venn, yaitu cara lain menyajikan himpunan dengan digambarkan sebagai lingkaran d memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat.

      Contoh:

  C.  Macam-Macam Himpunan

 Berdasarkan jumlah anggotanya, himpunan terbagi   menjadi beberapa macam yaitu:

-Himpunan Kosong (Himpunan Hampa)

  Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan dengan s  sebagai ᴓ atau {}.

Contoh:

C = {bilangan genap antara 4 dan 6}. 
ditulis C = {} atau ᴓ

-Himpuanan Semesta

Himpunan Semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua unsur yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis dengan huruf S  atau  U (singkatan dari Universal).

Contoh:

A = {2,4,6,8,10}
himpunan semestanya:
S = {bilangan asli}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan genap kurang dari 12}

-Himpunan Subset (Bagian)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi himpunan bagian : A ⊆ B atau A ⊂ B

Contoh:

(i)  N ⊆ Z ⊆ R ⊆ C

(ii) {2, 3, 5} ⊆ {2, 3, 5}

Untuk setiap himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

a)      A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A ⊆ A).

b)      Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( ∅ ⊆ A).

c)      Jika A ⊆ B dan B ⊆ C, maka A ⊆ C

- Himpunan Ekuivalen

Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika masing-masing mempunyai kardinalitas yang sama. Misalkan, himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan B berarti kardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama.

Notasi yang digunakan adalah : A ~ B

Contoh :

Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab |A| = |B| = 4